[CS50] 모두를 위한 컴퓨터 과학 - ch4

 

1. 알고리즘

 

선형 검색

배열의 인덱스를 처음부터 끝까지 하나씩 증가시키면서 방문하여 그 값이 속하는지를 검사합니다.

아래 의사코드와 같이 나타낼 수 있습니다.

 

For i from 0 to n–1

    If i'th element is 50

        Return true

Return false

 

이진 검색

만약 배열이 정렬되어 있다면, 배열 중간 인덱스부터 시작하여 찾고자 하는 값과 비교하며 그보다 작은(작은 값이 저장되어 있는) 인덱스 또는 큰 (큰 값이 저장되어 있는) 인덱스로 이동을 반복하면 됩니다.

아래 의사코드와 같이 나타낼 수 있습니다.

 

If no items

    Return false

If middle item is 50

    Return true

Else if 50 < middle item

    Search left half

Else if 50 > middle item

    Search right half

 

 

2. 선형검색

 

찾고자 하는 자료를 검색하는 데 사용되는 다양한 알고리즘이 있습니다. 그 중 하나가 선형 검색입니다.

선형검색은 원하는 원소가 발견될 때까지 처음부터 마지막 자료까지 차례대로 검색합니다.

이렇게 하여 선형 검색은 찾고자 하는 자료를 찾을 때까지 모든 자료를 확인해야 합니다.

 

 

효율성 그리고 비효율성

선형 검색 알고리즘은 정확하지만 아주 효율적이지 못한 방법입니다.

리스트의 길이가 n이라고 했을 때, 최악의 경우 리스트의 모든 원소를 확인해야 하므로 n번만큼 실행됩니다.

여기서 최악의 상황은 찾고자 하는 자료가 맨 마지막에 있거나 리스트 안에 없는 경우를 말합니다.

만약 100만 개의 원소가 있는 리스트라고 가정해본다면 효율성이 매우 떨어짐을 느낄 수 있습니다.

반대로 최선의 상황은 처음 시도했을 때 찾고자 하는 값이 있는 경우입니다.

평균적으로 선형 검색이 최악의 상황에서 종료되는 것에 가깝다고 가정할 수 있습니다.

선형 검색은 자료가 정렬되어 있지 않거나 그 어떤 정보도 없어 하나씩 찾아야 하는 경우에 유용합니다.

이러한 경우 무작위로 탐색하는 것보다 순서대로 탐색하는 것이 더 효율적입니다.

이제 여러분은 왜 검색 이전에 정렬해줘야 하는지 알 수 있을 것입니다.

정렬은 시간이 오래 걸리고 공간을 더 차지합니다.

하지만 이 추가적인 과정을 진행하면 여러분이 여러 번 리스트를 검색해야 하거나 매우 큰 리스트를 검색해야 할 경우 시간을 단축할 수 있을 것입니다.

 

#include <cs50.h>
#include <stdio.h>

int main(void)
{
    // numbers 배열 정의 및 값 입력
    int numbers[] = {4, 8, 15, 16, 23, 42};

    // 값 50 검색
    for (int i = 0; i < 6; i++)
    {
        if (numbers[i] == 50)
        {
            printf("Found\n");
            return 0;
        }
    }
    printf("Not found\n");
    return 1;
}

 

 

위의 코드는 아주 간단한 선형검색의 사례입니다.

 

 

3. 버블정렬

 

정렬되지 않은 리스트를 탐색하는 것 보다 정렬한 뒤 탐색하는 것이 더 효율적입니다.

정렬 알고리즘 중 하나는 버블 정렬입니다.

버블 정렬은 두 개의 인접한 자료 값을 비교하면서 위치를 교환하는 방식으로 정렬하는 방법을 말합니다.

버블 정렬은 단 두 개의 요소만 정렬해주는 좁은 범위의 정렬에 집중합니다.

이 접근법은 간단하지만 단 하나의 요소를 정렬하기 위해 너무 많이 교환하는 낭비가 발생할 수도 있습니다.

아래와 같은 8개의 숫자가 임의의 순서로 나열되어 있습니다.

이 숫자들을 오름차순으로 정렬하기 위해 바로 옆의 있는 숫자들과 비교하는 방법을 사용해 보겠습니다.

 

6 3 8 5 2 7 4 1

 

먼저 가장 앞의 6과 3을 비교해서 순서를 바꿉니다.

 

교환 전: 6 3 8 5 2 7 4 1

교환 후: 3 6 8 5 2 7 4 1

 

다음 쌍인 6과 8을 비교해보면 교환할 필요가 없으므로 그대로 둡니다.

바로 다음에 있는 쌍인 8과 5를 비교해서 순서를 바꿉니다.

 

교환 전: 3 6 8 5 2 7 4 1

교환 후: 3 6 5 8 2 7 4 1

 

이런 식으로 숫자 끝까지 진행하면 아래와 같이 정렬이 됩니다.

 

3 6 5 2 7 4 1 8

 

하지만 아직 오름차순으로 정렬이 되지 않았기 때문에, 다시 처음부터 동일한 작업을 반복합니다.

 

3 6 5 2 7 4 1 8

3 6 5 2 7 4 1 8 (교환)

3 5 6 2 7 4 1 8 (교환)

3 5 2 6 7 4 1 8 

3 5 2 6 7 4 1 8 (교환)

3 5 2 6 4 7 1 8 (교환)

3 5 2 6 4 1 7 8

 

조금 더 잘 정렬이 되었습니다. 이 과정을 끝까지 반복하면 최종적으로 아래와 같이 오름차순 정렬이 될 것입니다.

 

1 2 4 3 5 6 7 8

 

이러한 정렬 방식을 ‘버블 정렬’이라고 합니다.

마치 거품이(비교 및 교환이) 터지면서 위로 올라오는 (배열의 옆으로 이동하는) 방식이기 때문입니다.

아래와 같이 의사 코드로 나타낼 수 있습니다.

Repeat n–1 times

    For i from 0 to n–2

        If i'th and i+1'th elements out of order

            Swap them

중첩 루프를 돌아야 하고, n개의 값이 주어졌을 때 각 루프는 각각 n-1번, n-2번 반복되므로  (n-1)*(n-2) = n^2-3n+2(n−1)∗(n−2)=n​2​​−3n+2  번의 비교 및 교환이 필요합니다.

여기서 가장 크기가 큰 요소는 n^2 이므로 위와 같은 코드로 작성한 버블 정렬 실행 시간의 상한은 O(n^2)이라고 말할 수 있습니다.

정렬이 되어 있는지 여부에 관계 없이 루프를 돌며 비교를 해야 하므로 위와 같은 코드로 작성한 버블 정렬의 실행 시간의 하한도 여전히 Ω(n^2)이 됩니다.

 

 

4. 선택 정렬

 

보통 배열이 정렬되어 있으면 정렬되지 않은 배열보다 더 쉽게 탐색할 수 있습니다.

정렬을 위한 알고리즘 중 선택정렬을 배열 안의 자료 중 가장 작은 수(혹은 가장 큰 수)를 찾아 첫 번째 위치(혹은 가장 마지막 위치)의 수와 교환해주는 방식의 정렬입니다.

선택 정렬은 교환 횟수를 최소화하는 반면 각 자료를 비교하는 횟수는 증가합니다.

다음과 같은 정렬되지 않은 숫자들을 오름차순 정렬해보도록 하겠습니다.

 

6 3 8 5 2 7 4 1

 

먼저 아래 숫자들 중에서 가장 작은 값을 찾습니다.

 

6 3 8 5 2 7 4 1

 

가장 작은 값인 1은 가장 앞에 있어야 하므로 현재 리스트의 첫 번째 값인 6과 교환합니다.

 

1 3 8 5 2 7 4 6

 

그리고 정렬되어 있는 1은 제외하고, 두 번째 숫자부터 시작해서 또 가장 작은 값을 찾습니다.

 

1 3 8 5 2 7 4 6

 

가장 작은 값인 2는 정렬되지 않는 숫자들 중에서 가장 앞에 있어야 하므로 3과 교환합니다.

 

1 2 8 5 3 7 4 6

 

이 과정을 더 이상 교환이 일어나지 않을때까지 반복하면, 아래와 같이 오름차순 정렬이 완료됩니다.

 

1 2 3 4 5 6 7 8

 

이러한 정렬 방법을 ‘선택 정렬’ 이라고 합니다. 의사 코드로 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

For i from 0 to n–1

    Find smallest item between i'th item and last item

    Swap smallest item with i'th item

여기서도 두 번의 루프를 돌아야 합니다.

바깥 루프에서는 숫자들을 처음부터 순서대로 방문하고, 안쪽 루프에서는 가장 작은 값을 찾아야 합니다.

따라서 소요 시간의 상한은 O(n^2)이 됩니다. 하한도 마찬가지로 Ω(n^2) 입니다. 버블 정렬과 동일합니다. 

 

 

5. 정렬 알고리즘의 실행 시간

 

실행시간의 상한

• O(n^2): 선택 정렬, 버블 정렬
• O(n log n)
• O(n): 선형 검색
• O(log n): 이진 검색
• O(1)

 

실행시간의 하한

• Ω(n^2): 선택 정렬, 버블 정렬
• Ω(n log n)
• Ω(n)
• Ω(log n)
• Ω(1): 선형 검색, 이진 검색

 

여기서 버블 정렬을 좀 더 잘 할 수 있는 방법을 알아보겠습니다.

만약 정렬이 모두 되어 있는 숫자 리스트가 주어진다면 어떨까요?

 

원래 의사 코드는 아래와 같습니다.

Repeat n–1 times

    For i from 0 to n–2

        If i'th and i+1'th elements out of order

            Swap them

여기서 안쪽 루프에서 만약 교환이 하나도 일어나지 않는다면 이미 정렬이 잘 되어 있는 상황일 것입니다.

따라서 바깥쪽 루프를 ‘교환이 일어나지 않을때’까지만 수행하도록 다음과 같이 바꿀 수 있습니다.

Repeat until no swaps

    For i from 0 to n–2

        If i'th and i+1'th elements out of order

            Swap them

따라서 최종적으로 버블 정렬의 하한은 Ω(n)이 됩니다.

상황에 따라서는 선택 정렬보다 더 빠른 방법이 되는 것이죠.

 

실행시간의 하한

• Ω(n^2): 선택 정렬
• Ω(n log n)
• Ω(n): 버블 정렬
• Ω(log n)
• Ω(1): 선형 검색, 이진 검색